逼近恒等

卷积在普通函数中没有真正的恒等元——不存在某个函数与 f 卷积后原样返回 f（那个角色属于狄拉克 delta，它不是函数）。逼近恒等是退而求其次的最佳选择：一族真正的函数，随某参数把它们变尖，越来越像那个理想的点质量，故与它们卷积可在极限下恢复 f。

若三个条件成立，则族 (K_t) 是逼近恒等：每个 K_t 的总积分为 1；它们的 L1 范数保持有界；且当 t 缩小时，它们的质量集中于 0 附近（|K_t| 在 0 的任一邻域之外的积分趋于 0）。标准做法是伸缩：取一个固定的、积分为 1 的凸块 phi，令 K_t(x) = (1/t) phi(x/t)，把凸块挤得更窄更高，同时保持其面积为 1。

基本定理：若 (K_t) 是逼近恒等，则当 t -> 0 时 f * K_t -> f，收敛模式取决于 f。对（紧支的）连续 f，收敛是一致的；对 L^p 中的 f，收敛在 L^p 范数下；而在可积 f 的每个连续点处，收敛是逐点的。费耶尔核、泊松核和高斯磨光子是标准例子——这一单一原理支撑着平滑、光滑函数的稠密性，以及从变换恢复函数的确切含义。