分布（广义函数）

物理学家长久以来写下诸如狄拉克 delta（在一点处‘无穷高的尖峰、总面积为一’）和阶跃函数的导数这类对象，而经典分析说它们不存在。分布正是这类对象的严格归宿。视角的关键转变：不再追问对象在每一点的值，而只问它与一个光滑测试函数作积分时做了什么。一个分布完全由这些加权平均所定义。

形式上，固定测试函数空间：具紧支集的光滑函数（或速降函数的施瓦茨空间，用于缓增分布）。分布是该空间上的连续线性泛函——一条规则 T，线性且连续地把每个测试函数 phi 赋予一个数 T(phi)。每个局部可积函数 f 通过 phi 映为 integral of f phi 给出一个分布，故普通函数忠实嵌入；但分布远多于函数。狄拉克 delta 即泛函 phi 映为 phi(0)。

其威力来自通过‘把工作转移到测试函数上’而延拓的运算。分布 T 的导数由 T'(phi) = -T(phi') 定义，照搬分部积分——故每个分布都无穷可微，而跳跃的导数是一个 delta。傅里叶变换以同样方式延拓到缓增分布，使得对像 1、e^{i x} 或 delta 自身这些都不可积的对象的变换有了意义。这是偏微分方程以及超出经典函数空间的调和分析的自然舞台。