光滑函数

你遇到的大多数函数都只能求导有限次，然后就会出问题。光滑函数则是永不出问题的理想：你可以一次又一次、永远地对它求导，而且每一阶仍然是一个连续函数，可供再求导一次。

定义：f 在一个开集上光滑，记作 f 是 C-无穷，是指它在那里具有每一阶 n 的导数，对所有 n = 1, 2, 3, ... 成立。每一个这样的导数随之自动连续（因为在下一阶可微迫使本阶连续）。多项式、e^x、sin、cos 以及有理函数在其定义域上都是光滑的。

光滑位居一条严格链 C^0 ⊇ C^1 ⊇ C^2 ⊇ ... 的顶端，C-无穷 是它们全体的交。最重要的诚实告诫是：光滑严格弱于实解析。一个函数可以是 C-无穷 却在任何邻域内都不等于其泰勒级数之和——经典见证是 f(x) = e^(-1/x^2)（x 不为 0），f(0) = 0，它光滑且在 0 处每一阶导数都为零，故它在 0 处的泰勒级数恒为零，而 f 本身在远离 0 处为正。