光滑但非解析

人们很容易相信:只要函数无限可微,它的泰勒级数就一定能把它重建出来。这一信念是错误的,而其反例是分析学中最具教益的例子之一。一个函数可以完美光滑——具备每一阶导数——可它的泰勒级数却收敛到错误的对象,完全错过了这个函数。

标准的例子是 f(x) = e^{-1/x^2}(当 x 不为 0),并令 f(0) = 0。这个函数处处无限可微,而它在 0 处的每一阶导数恰好都等于 0:f(0) = 0、f'(0) = 0、f''(0) = 0,各阶皆然。因此它在 0 处的泰勒级数是 0 + 0x + 0x^2 + ...,即零级数,其和为常数 0——然而对每个不为 0 的 x,f(x) 都为正。

教训在于:光滑性(属于 C-无穷)严格弱于实解析性。光滑函数的泰勒级数总是存在,但等式 f(x) =(其泰勒级数)是一个真正额外的条件,由泰勒余项是否趋于零所掌控。这类函数远非仅供玩味:它们不可或缺,可用来构造凸起函数与单位分解,这些光滑的工具是(具有刚性的)解析函数无法提供的。