泰勒余项

当你用泰勒多项式逼近一个函数时，你是在有意舍弃某个次数以上的一切。泰勒余项是对你究竟舍弃了什么的诚实记账——真实函数与其多项式逼近之间的差距。精通分析意味着：不界定这个差距就绝不逼近。

定义：设 P_n 为 f 在 a 处的 n 次泰勒多项式，则余项为 R_n(x) = f(x) - P_n(x)。它的大小由下一阶导数支配。拉格朗日形式为 R_n(x) = (f^(n+1)(xi)/(n+1)!)(x - a)^(n+1)，其中 xi 严格介于 a 与 x 之间（设 f^(n+1) 在该区间上存在）。积分形式 R_n(x) = (1/n!) integral_a^x f^(n+1)(t)(x - t)^n dt 要求 f^(n+1) 连续，但不含未知的 xi。

实际收益是一个数值误差界：若在 a 与 x 之间的区间上 |f^(n+1)| <= M，则 |R_n(x)| <= M |x - a|^(n+1) / (n+1)!。例如，正是凭此可证明 e^x、sin 与 cos 的泰勒级数处处收敛于这些函数——办法是证明余项趋于 0。一条常备警告：在某一点对某个固定 n 余项很小，并不能说明任何整体性质；级数收敛要求当 n -> 无穷 时 R_n(x) -> 0，而即便对光滑函数这也可能失败。