估计

估计是关于大小的一种有控制的论断，好比说“这只行李箱至多 20 公斤”，而不必精确称到克。你并不把那个量钉死——而是用一个你确实能论证的界把它圈住，而那道围栏往往就是你所需要的全部。

在分析中，估计是一条界定某量大小的不等式，典型地形如 |某量| <= （某个可掌控的东西）。上方估计表明一个量不太大（于是当界很小时它就很小）；下方估计表明它不太小。给出恰当的估计——既不弱到无法得出结论，也不比必要的更难证明——是这门学科的核心手艺；估计简直就是分析论证的流通货币。

好的估计是可复用的：三角不等式、界 |sin x| <= 1、几何级数的界，以及中值不等式 |f(b) - f(a)| <= M|b - a|，处处反复出现。需诚实地补充：估计是一种单向的陈述。知道 |a_n| <= 1/n 便能告诉你 a_n -> 0，但一个仅说 |a_n| <= 5 的界对收敛性毫无所言——那个界必须收缩，或与 epsilon 挂钩，才能真正发挥作用。