不等式的作用

初等代数大多关乎等式——求出使两边相等的那个值。分析却把这翻了过来：它大多关乎不等式，因为要控制一个晃动的、近似的量，你很少能确切知道它，却可以把它夹在上下界之间。分析者的本能不是“这等于多少？”，而是“它能有多大？”。

不等式是分析的工作语言：几乎每个论证所摆弄的，是估计与界，而非精确的等式。要证明一个量很小，你就用一个能被你弄小的东西把它从上方界住；要证明某极限成立，你就把一段距离压到所选的 epsilon 以下。三角不等式 |a + b| <= |a| + |b| 是用得最多的单一工具，它让你把复杂的表达式一块一块地拆开并界住。

这正是为何“只需证明 ... < epsilon”这类话语在证明中俯拾皆是。你追逐的并非误差项的确切值——只是它的一个可用的上界。需诚实地补充：一个界，好就好在它对目的而言足够紧。一个仍能击败 epsilon 的粗糙估计就是彻底的成功；目标是够用，而非最优。