epsilon–delta（ε–δ）

设想一个挑战游戏。怀疑者先给出一个目标容差 epsilon——你必须把答案逼近到多近。你则必须回应一个余量 delta——输入要离目标多近，才能保证你落在容差之内。如果无论怀疑者给的 epsilon 多小你都能取胜，那么这个极限就成立。

epsilon–delta 语言正是把含糊的“靠近”一词转化为精确逻辑命题的量化机制。当 x -> a 时 f(x) 的极限等于 L，意思是：对每个 epsilon > 0 都存在一个 delta > 0，使得只要 0 < |x - a| < delta，就有 |f(x) - L| < epsilon。量词的顺序至关重要——delta 是在 epsilon 之后选取的，并且可以依赖于 epsilon。

这一由魏尔斯特拉斯臻于完善的表述，彻底取消了对运动、无穷小或把“趋近”当作物理过程的任何诉诸。极限、连续、导数与积分的整座大厦都建立在它之上。一个常见的混淆是：必须对所选的 delta 邻域使 |f(x) - L| < epsilon 成立——仅仅说 f(x) 最终会靠近是不够的；一旦 x 落在 a 的 delta 范围内，f(x) 就必须始终保持靠近。