极限（概念）

极限是一个过程逐渐逼近的那个值，就像恒温器趋向却永远无法完全触及的那个温度，或旅人一次次将剩余距离减半而趋近的那个目的地。极限就是这趟逼近所指向的答案——无论这个过程是否真的到达那里。

更确切地说，极限是某个变动的量可以任意逼近的一个值 L，而“任意逼近”由 epsilon–delta（或 epsilon–N）判据来兑现。那个量可以是序列的项、函数在某点附近的取值、级数的部分和，或别的许多东西；在每种情形里，极限都是 epsilon 游戏总能达到的那个唯一的值。

需诚实地提两点警告。其一，极限的值不一定被取到：1/n 的极限是 0，尽管 1/n 永远不为 0。其二，极限若存在则唯一——但它也可能不存在（序列 (-1)^n 不逼近任何单一的值）。极限是整个分析的承重观念；微分、积分、连续、无穷级数乃至实数本身，都是通过它来定义的。