全称量词

全称量词是短语“对所有”（符号 ∀），它把关于 x 的开句变成断言其对指定论域中每个元素都成立的命题。“对所有实数 x，x^2 ≥ 0”同时对每个实数断言性质 x^2 ≥ 0，是把无穷多个命题卷成了一个。论域很要紧：“对所有自然数 n，n ≥ 1”在正整数上为真，但若允许 0 则为假。

要证明一个全称命题，你必须对一个任意的、固定但不另加限定的元素确立该性质——当元素有无穷多个时不能逐一核验。标准做法是“设 x 为任意实数”，然后只用对每个实数都成立的性质来论证。反过来，要推翻一个全称命题，单单一个反例就够了：一个坏的 x 即可击垮“对所有 x”。

量词是分析的脉搏。极限的 epsilon–delta 定义读作“对所有 epsilon > 0，存在 delta > 0，使得对所有满足 0 < |x − a| < delta 的 x，都有 |f(x) − L| < epsilon”——一串嵌套量词，其次序不可互换。流利地读写并操纵这样的串，是本学科中最重要的一项语言技能。