量词的否定

对量化命题取否定遵循两条简单而机械的规则。“对所有 x，P(x)”的否定是“存在 x 使非 P(x)”；“存在 x 使 P(x)”的否定是“对所有 x，非 P(x)”。用话说：要否认某事对一切成立，只需一个例外；要否认某物存在，则须处处排除它。

这些规则让你能把否定号穿过整叠量词向内推：每个 ∀ 翻成 ∃，每个 ∃ 翻成 ∀，最里层的谓词最后被否定。对嵌套命题逐次施用这些规则，途中还要对联结词用德摩根律。这一过程机械而可靠，正是数学家珍视量词记号的原因所在。

这就是分析中每个“反设不然”论证背后的实用引擎。要证一个序列不收敛到 L，你否定“对所有 epsilon > 0 存在 N 使对所有 n ≥ N，|a_n − L| < epsilon”，得到“存在 epsilon > 0 使对所有 N 存在 n ≥ N 满足 |a_n − L| ≥ epsilon”。这个否定形式恰恰告诉你要造出什么：一个顽固的 epsilon，以及对每个 N 都有一个仍在捣乱的靠后下标。