高阶导数

如果一阶导数是你的速度，那么二阶导数就是你的加速度——速度本身变化的快慢。微分可以反复施行：求导数的导数，再求其导数，如此下去，每一遍都揭示出一个量如何弯曲与扭转的更细一层。

定义：二阶导数为 f''(x) = (f')'(x)，即 f' 在其存在处的导数；归纳地，n 阶导数 f^(n) 是 f^(n-1) 的导数。要使 f^(n)(a) 有定义，f^(n-1) 必须在 a 的某邻域内（而不仅在 a 处）存在，并在 a 处可微。记号有 f''(a)、f^(n)(a)，以及莱布尼茨形式 d^2f/dx^2 与 d^n f/dx^n。

高阶导数刻画了斜率之外的几何：f'' 的符号决定凹凸性（f'' > 0 处下凸、f'' < 0 处上凸），并是极值的二阶导数判别法的基础。一个微妙之处：每一阶都比上一阶要求更高的正则性，某一层的存在并不保证下一层的良好性——f^(n) 可能存在而 f^(n+1) 不存在，或者 f^(n) 自身不连续。