克莱罗定理

当你跨两个变量求二阶导数时，也许会担心：先对 x 再对 y，与先对 y 再对 x，结果会不会不同。克莱罗定理给出令人宽心的结论：只要足够光滑，顺序无关紧要——两个混合偏导数干脆相等。求导的账目是对称的。

精确地说：若二阶混合偏导数 d^2 f/(dy dx) 与 d^2 f/(dx dy) 都在某点的邻域内存在且在该点连续，则它们在该点相等。（一个常见且略强的假设是 f 为 C^2——二次连续可微——这使所有混合偏导对称。）此结论常同时归功于克莱罗与施瓦茨。

连续性假设并非装饰。存在某些函数，其两个二阶混合偏导在某点都存在却取不同值，正因为那些偏导在该点不连续。所以诚实的陈述是有条件的：混合偏导相等在连续性下成立，而非无条件成立。当它成立时，海森矩阵是对称的。