混合偏导数

对一个变量求导后，你可以再对另一个不同的变量求导。混合偏导数就是这种跨两个不同变量的两步过程的结果——例如，先扰动 x，看“关于 y 的斜率”如何变化。它探测的是：当你沿一个方向移动时，函数在另一方向上的斜率如何改变。

严格地说，对 f(x, y)，两个二阶混合偏导数是 d^2 f / (dy dx)，意为先对 x、再对 y 求导，以及 d^2 f / (dx dy)，意为先对 y、再对 x 求导。（不同书对顺序的记号约定不一，需仔细阅读。）对更多变量的函数，每一对有序的不同变量都对应一个混合偏导数。

自然的问题——求导顺序是否重要？——有一个令人安心但有条件的答案。一般而言，当函数行为恶劣时两种顺序可给出不同结果，但在温和的连续性假设下它们总相等。这个相等，即克莱罗定理，正是我们能把二阶导数毫不含糊地写成对称的海森矩阵的原因。