多元分析
偏导数
假设你站在山坡上，决定只朝正东走、绝不转弯。你脚下感到的坡度——每向东一步海拔变化的速率——恰好就是一个偏导数。你冻结除一个之外的所有坐标，只在那一个方向上测量普通的一元变化率。
严格地说，f 关于 x_i 在点 a 处的偏导数，是 (f(a + h e_i) - f(a))/h 当 h -> 0 时的极限，其中 e_i 是第 i 个坐标方向。记作 df/dx_i（偏）、f_{x_i} 或 D_i f。计算它无非就是把其余变量当作常数，做一元求导。
偏导数易于计算，但作为可微性的判据却很危险。一个函数可以在某点拥有全部偏导数，却仍在该点不连续。偏导数只探测坐标轴方向，对斜方向上的行为一无所知，这正是需要更强的全导数概念的原因。
对 f(x, y) = x^2 y + sin(y)：df/dx = 2xy（把 y 当常数），df/dy = x^2 + cos(y)（把 x 当常数）。在 (1, 0)：df/dx = 0，df/dy = 1 + 1 = 2。
对每个变量各求一次，其余固定。
全部偏导数存在并不蕴含可微，甚至不蕴含连续。但若所有偏导数在某点附近存在且在该点连续，则函数在该点可微（此时称为连续可微，或 C^1）。偏导数的连续性是实用的充分条件。
另见