多元分析
全导数
在一元情形，导数是一个数——切线的斜率。在多元情形，诚实的类比不是一个数，而是一整个线性映射：函数在某点附近最佳的平直（线性）逼近。一元微积分交给你一个斜率，多元微积分则交给你一个使空间倾斜的线性变换。
严格地说，f: R^n -> R^m 在 a 处（全）可微，其全导数为线性映射 Df(a): R^n -> R^m，是指 f(a + h) = f(a) + Df(a) h + r(h)，其中余项满足当 h -> 0 时 |r(h)| / |h| -> 0。全导数存在时是唯一的，且它在标准基下的矩阵恰是由偏导数构成的雅可比矩阵。
这才是正确的、不依赖坐标的导数概念。它抓住了几何内容——切平面、局部线性化——而单纯的偏导数会错过这些。由它出发，链式法则读作线性映射的复合（矩阵相乘），逆函数定理与隐函数定理等也自然涌出。
对 f(x, y) = x^2 + y^2 在点 (1, 1)：Df(1,1)(h, k) = 2h + 2k，即矩阵为 [2, 2] 的线性映射。于是 f(1 + h, 1 + k) = 2 + 2h + 2k + (h^2 + k^2)，余项 h^2 + k^2 比 sqrt(h^2 + k^2) 更快地趋于零。
全导数即增量的线性部分。
又称
另见