R^n 中的可微性

多元函数在某点“光滑”应当意味着什么？诚实的回答沿用一元的思想，但表述要小心：函数应紧贴一张平直的平面，以至于当你放大时，函数与该平面之间的差距比到该点的距离收缩得更快。可微性恰好保证了这样一个完美贴合的线性逼近存在。

精确地说，f: R^n -> R^m 在 a 处可微，是指存在线性映射 L（即其全导数）使得 f(a + h) = f(a) + L h + r(h)，且当 h -> 0 时 |r(h)| / |h| -> 0。关键要求是误差相对于 |h| 趋于零，而不仅仅是误差本身趋于零。这一个条件就同时控制了所有逼近方向。

两点诚实的告诫。其一，可微蕴含连续，但反之不然。其二——这常令初学者惊讶——仅仅所有偏导数存在，远比可微弱，甚至不能保证连续。一个干净的充分条件是：偏导数在 a 附近存在且在 a 处连续，则 f 在 a 处可微。