雅可比矩阵

当一个映射把一个空间送入另一个——比如把 (u, v) 变成 (x, y)——它会在每点附近拉伸、旋转、错切小块区域。雅可比矩阵就是精确记录这一切的账本：它把每个输出对每个输入的所有一阶偏导数收进一个矩形阵列，即该映射的局部线性蓝图。

对 f: R^n -> R^m，其分量为 f_1, ..., f_m，在 a 处的雅可比矩阵是 m × n 矩阵 J，其 (i, j) 元为 f_i 关于 x_j 的偏导数在 a 处的值。当 f 可微时，J 恰是全导数 Df(a) 在标准基下的矩阵。对标量函数（m = 1），雅可比矩阵是单独一行，即梯度的转置。

当 m = n 时，J 的行列式——雅可比行列式——度量该映射在局部对 n 维体积的缩放因子（其符号记录定向）。这个行列式是多重积分换元公式的关键，也是逆函数定理中可逆性假设的核心。