换元法

有时一个区域在某坐标系里很别扭，换一个坐标系却很整齐——圆盘在 x、y 中一团糟，在极坐标里却是干净的矩形。换元法让你把区域重映到更友好的那个，但你须付出代价：一个伸缩因子，用以体现新坐标在局部如何压缩或扩张面积或体积。

精确地说，设 T 是从 R^n 中某开集到另一开集的 C^1 双射，且其雅可比行列式处处非零。则对可积的 f，f 在 T(U) 上的积分等于 f(T(u)) 乘以 T 的雅可比行列式的绝对值在 U 上的积分。这个额外因子 |det DT| 就是该替换的局部体积缩放；它是一元 du = (du/dx) dx 的多元推广。

雅可比行列式——不是矩阵，是行列式，且取绝对值——才是要害。漏掉它是最常见的错误。极坐标下因子是 r；球坐标下是 rho^2 sin(phi)。各项假设（双射、C^1、雅可比非零）可放宽为在一个测度为零的集合外成立，这在实践中已足够。