富比尼定理

假设你想求一块密度不均的矩形薄片的总重。你可以把竖直长条的重量加起来，也可以把水平长条的重量加起来——两种方式得到同样的总和。富比尼定理就是把这桩日常事实严格化：多重积分可以一次只对一个变量积分来计算，且积分顺序不改变答案。

在测度论的形式中，若 f 在乘积空间上可积（其绝对值的二重积分有限），则二重积分等于两个累次积分中的每一个：先对 y 后对 x，或先对 x 后对 y，都得同一个数。配套的托内利定理允许对非负可测函数，在尚未验证可积性之前就作同样的交换。

可积性假设并非可有可无。缺了它，两个累次积分可能都存在却互不相等——这是“不可随意交换积分顺序”的著名警示。所以稳妥的做法是：先确认 |f| 的积分有限（常用托内利），再用富比尼计算，按更方便的方式切片。