乘积测度

乘积测度是当你已知如何沿每条轴度量「长度」之后，用以度量「面积」的方法。若一个空间度量水平方向的延展，另一个度量竖直方向的延展，乘积测度便把一个矩形的测度定为其宽与高之积，再把这条规则一致地推广到合并空间中远为复杂的区域。它是二重积分背后的抽象引擎。

给定两个 sigma 有限测度空间 (X, A, mu) 与 (Y, B, nu)，乘积 sigma 代数 A ⊗ B 由可测矩形 A × B（A 属于 A、B 属于 B）生成。在该 sigma 代数上存在唯一的测度 mu × nu，对所有这类矩形满足 (mu × nu)(A × B) = mu(A) 乘以 nu(B)。唯一性需要 sigma 有限性；缺之则构造可能不唯一。R^2 上的勒贝格测度正是这样作为 R 上勒贝格测度两份副本的乘积而生（再行完备化）。

如此小心地构造该测度，意在使逐个变量地在乘积上积分成为合法。一般集合的测度通过切片计算：固定 x，在 Y 中度量切片，再把这些切片测度对 X 积分——而富比尼—托内利定理确证以另一顺序进行会给出同样的答案。一个微妙处：两个完备测度之乘积（如勒贝格 × 勒贝格）未必完备，故通常事后再作完备化。