富比尼—托内利定理

富比尼—托内利定理是把一个二重积分按任一顺序拆成两个单重积分来计算的许可证。直观地说，曲面下的体积可通过扫过竖直切片的面积再相加求得，而你是从前往后切还是从左往右切本不应有别。该定理恰好说明此直观何时严格成立——同样重要的是，何时会失效。

在 sigma 有限的乘积空间上它分两半。托内利那一半：若 f 非负且可测，则二重积分等于每个累次积分，事先无需假定可积性——无论以哪种方式进行，答案相同（可能为 +无穷）。富比尼那一半：若 f 在乘积上可积（|f| 的积分有限），则三个积分再次一致且有限，且对另一变量的几乎每个固定值，内层积分都有限。实务上先对 |f| 用托内利确认可积，再对 f 本身用富比尼。

这些前提并非摆设。若 f 变号且非绝对可积，两个累次积分可能确实不一致。单位正方形上一个标准的警示例子用 f(x, y) = (x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2：按一种顺序积分得 pi/4，按另一种顺序得 -pi/4。|f| 的二重积分为无穷，故富比尼与托内利皆不适用，于是顺序骤然变得要紧。