多重积分

单重积分把一个函数在一个区间上累加——想象曲线下的面积。多重积分则在二维、三维乃至更高维的区域上做同样的事：它把一个函数的值累积在一块平板、一个实体或更高维区域之上。设想把区域切成微小的小块，每块以函数值加权，再求和。

严格地说，f 在 R^n 中区域 D 上的黎曼多重积分，是黎曼和的极限：把 D 分成小胞元，把 f 在每个胞元中的值乘以该胞元的 n 维体积，求和，再细化分割。当此极限不依赖于各种选择而存在时，f 在 D 上可积，其极限记作 f 在 D 上的积分，体积元为 dx（或 dV）。

对平面区域上的非负 f，二重积分是图像下方的体积；对一个实体，当 f 是密度时，三重积分可给出质量。除一个测度为零的集合外处处连续的有界函数是可积的——而实践中我们几乎从不直接计算极限。相反，我们借助富比尼定理把多重积分化为累次单重积分。