黎曼积分
黎曼和
黎曼和是图像下方面积的阶梯近似:在每条竖条上叠一个矩形,其高度等于函数在该条内某个样本点处的值,再把各矩形的面积相加。如果竖条足够细,锯齿状的阶梯就紧贴真实区域,其总面积趋近于积分。
给定 [a, b] 的一个带标记分割 (P, T),其中 P = {x_0, ..., x_n},标记 t_k 属于 [x_(k-1), x_k],则 f 对应的黎曼和为 S(f, P, T) = sum_{k=1}^{n} f(t_k)(x_k - x_(k-1))。每一项 f(t_k) 乘以宽度是某个矩形的有向面积,之所以有向,是因为 f(t_k) 可能为负。
我们说黎曼和收敛到数 I,如果对每个 epsilon > 0 存在 delta > 0,使得每个网格 < delta 的带标记分割都满足 |S(f, P, T) - I| < epsilon,无论标记如何选取。当这样的 I 存在时,它就是 f 的黎曼积分。这是在一个有向族上取的真正极限,而非序列极限,因为标记是被全称量化的。
对 [0, 1] 上的 f(x) = x^2,取均匀分割与右端点,该和为 sum_{k=1}^{n} (k/n)^2 (1/n) = (n+1)(2n+1)/(6n^2),当 n -> infinity 时趋于 1/3,与 x^2 从 0 到 1 的积分一致。
一个有闭形式的黎曼和,其极限重现了熟悉的积分值 1/3。
左端点、右端点和中点法则都是特定标记选取下的黎曼和;它们是基本数值积分的种子。某一特定序列的和收敛本身并不能证明可积性——必须同时控制每一种标记选取。
另见