黎曼积分
带标记分割
普通分割告诉你在哪里切开区间,却把每个近似矩形的高度悬而未决。带标记分割补上了这个空缺:在每个子区间里你选一个样本点——一个标记——而函数在该点的值将成为矩形的高度。可以想象往每条竖条内部某处插一根针,然后读出针处曲线的高度。
严格地说,[a, b] 的一个带标记分割是一对 (P, T),其中 P = {x_0, ..., x_n} 是一个分割,T = (t_1, ..., t_n) 是一组标记的选取,满足 t_k 落在第 k 个子区间内,即 x_(k-1) <= t_k <= x_k。标记可以是其闭子区间内的任意一点,包括端点,而不同子区间的标记是独立选取的。
带标记分割恰好是黎曼和所需的全部数据:sum f(t_k)(x_k - x_(k-1))。由于标记是自由的,同一个底层分割可以产生许多不同的黎曼和;可积性正是断言:当网格趋于零时,所有这些选取被迫挤到一起。达布方法用上确界与下确界取代标记,从而绕开了标记的选取,而这两种方法最终是等价的。
在把 [0, 1] 等分成 n 份的分割上,取右端点 t_k = k/n 作为每个标记,得到右端点黎曼和;取中点 t_k = (2k-1)/(2n) 则得到中点法则。
同一分割,不同标记,不同的和——然而对可积函数它们都收敛到同一个数。
带标记分割是规函数(亨斯托克–库兹韦尔)积分的自然背景,在那里允许的网格可以依赖于标记。在普通黎曼理论中,标记只是在固定宽度子区间内的自由选取。
又称
另见