分割

想象用许多细长的竖条来测量曲线下方的面积。在搭起任何近似矩形之前,你必须先决定在哪里切开。分割正是这一串切点:它把区间切成有限多块,让后续的积分机器有东西可处理。

严格地说,闭区间 [a, b] 的一个分割 P 是一个有限点集 P = {x_0, x_1, ..., x_n},满足 a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b。这些点把 [a, b] 分成 n 个子区间 [x_(k-1), x_k]。第 k 个子区间的宽度为 delta_k = x_k - x_(k-1),而所有宽度之和等于整段长度,delta_1 + ... + delta_n = b - a。

分割本身只记录了切口的几何位置;它对所积分的函数只字未提。要把分割变成一个数,你还需要一条选取高度的规则——或者在每块上取一个样本点(得到黎曼和),或者在每块上取上确界/下确界(得到达布和)。这些点不必等距;不均匀的分割不仅被允许,而且在许多证明中是必不可少的。