黎曼积分
上达布和
上达布和是你能在一个分割上搭起的最慷慨的阶梯:在每条竖条上,你把矩形造得和函数在那里所达到的最高值一样高,于是阶梯始终压在图像上方。它有意高估面积,给出一个你可以信赖、绝不会低于真值的天花板。
设 f 在 [a, b] 上有界,P = {x_0, ..., x_n} 是一个分割。在第 k 个子区间上令 M_k = sup{ f(x) : x_(k-1) <= x <= x_k }。上达布和为 U(f, P) = sum_{k=1}^{n} M_k (x_k - x_(k-1))。由于 f 有界,每个 M_k 都是有限实数,所以 U(f, P) 是良定义的。
与黎曼和不同,上和不涉及标记的选取:每个子区间上的上确界是被强制确定的。因此对任何使用相同 P 的带标记分割,其黎曼和都不超过 U(f, P),而 U(f, P) 本身正是这些黎曼和的上确界。加细一个分割只会使上和下降,这正是上积分被定义为对所有分割取下确界的原因。
对 [0, 1] 上的 f(x) = x,取分成 n 份的均匀分割,M_k = k/n(上确界在右端点),故 U(f, P) = sum (k/n)(1/n) = (n+1)/(2n),它递减到 1/2。
对递增函数,每块上的上确界即右端点,故上和从上方趋近积分。
有界性是必不可少的:如果 f 在某个子区间上无界,那么 M_k = +infinity,达布机制就失效了,这正是黎曼积分与达布积分只对有界区间上的有界函数定义的原因。
又称
另见