上积分

每个上达布和都是面积的高估,而更细的分割给出更小的高估。上积分是所有高估中最好的:当你无限加细时上和所能趋近的最小值。它是所有上和都遵从的最紧的天花板。

对 [a, b] 上有界的 f,上积分是对所有分割 P 取上达布和的下确界:f 的上积分 = inf_P U(f, P)。这个下确界存在且有限,因为上和之集有下界(每个下和都是它的下界),于是实数的完备性提供了这个值。

对有界函数,上积分总是存在,即便普通积分不存在。它可以严格高于下积分;当且仅当 f 黎曼可积时两者相等,此时它们的公共值就是积分。所以上积分是一个单侧的逼近量,只有当它与其下方对应物相遇时才成为真正的积分。