下积分

每个下达布和都是面积的低估,而更细的分割给出更大的低估。下积分是所有低估中最好的:当你无限加细时下和所能趋近的最大值。它是所有下和都遵从的最高的地板。

对 [a, b] 上有界的 f,下积分是对所有分割 P 取下达布和的上确界:f 的下积分 = sup_P L(f, P)。这个上确界存在且有限,因为下和有上界(每个上和都是它们的上界),于是实数的完备性提供了这个值。

对有界函数,下积分总是存在,且绝不超过上积分:下积分 <= 上积分。当两者相等时,函数黎曼可积,公共的数就是积分。下积分是严格藏于图像下方的阶梯所能捕获的最大面积,而可积性恰好断言:在它上方的缝隙里没有任何实质被遗漏。