黎曼积分
加细
加细一个分割意味着进一步切割——保留所有旧的分点并插入新的。每条竖条要么不变,要么被劈成更细的几块。直观地说,更细的阶梯更贴近曲线,所以加细是驱使两个达布和彼此靠拢的引擎。
形式地说,分割 Q 是分割 P 的一个加细,如果 P 是 Q 的子集,即 P 的每个点也是 Q 的点。给定任意两个分割 P_1 与 P_2,它们的并 P_1 union P_2 是两者的一个公共加细,这是比较由互不相干分割构造的和的标准手段。
关键的单调性事实是:加细绝不会使夹逼变差:过渡到一个加细只会抬高(或保持)下和、只会压低(或保持)上和,所以只要 Q 加细 P 就有 L(f, P) <= L(f, Q) <= U(f, Q) <= U(f, P)。这种夹逼正是上、下积分良定义的原因,也正是每个下和都被每个上和所支配的原因——过渡到公共加细并把不等式串起来即可。
在 [0, 1] 上取 P = {0, 1} 与 Q = {0, 1/2, 1},f(x) = x。则 L(f, P) = 0,L(f, Q) = (0)(1/2) + (1/2)(1/2) = 1/4,下和上升了;U(f, P) = 1 降到 U(f, Q) = (1/2)(1/2) + (1)(1/2) = 3/4。
添加一个中点把下和拉高、上和压低,把夹逼区间从 [0, 1] 收窄到 [1/4, 3/4]。
加细关乎添加点,而非网格:加细后的网格总不大于原来的,但两个分割可以在网格上互相更细,而谁也不作为点集加细另一个。达布理论建立在点集的序之上,而非网格的序。
又称
另见