黎曼积分
黎曼判据
直接从定义检验可积性意味着要在所有分割上算两个上确界/下确界,这很笨拙。黎曼判据把它换成一个单一、可检验的测试:一个函数可积,恰当你能找到某一个分割,使其上、下阶梯任意接近。你只需展示一个好的分割,而不必在所有分割上做优化。
确切地说,[a, b] 上的有界函数 f 黎曼可积,当且仅当对每个 epsilon > 0 存在一个分割 P 使 U(f, P) - L(f, P) < epsilon。差 U(f, P) - L(f, P) 等于 sum (M_k - m_k)(x_k - x_(k-1)),即两个阶梯之间缝隙的总面积;使它变小意味着高估与低估彼此夹紧。
这是序列柯西判据在积分中的类比:它在不指明极限的情况下证明极限存在。一个方向由加细下和的单调性轻易得出;另一方向利用缝隙控制了上、下积分之差。它是用来证明连续函数与单调函数可积的主力工具,办法是选取足够细的分割,迫使每个 M_k - m_k 都很小。
若 f 在 [a, b] 上连续,则它一致连续,故给定 epsilon 存在 delta,使 |x - y| < delta 时 |f(x) - f(y)| < epsilon/(b-a);任何网格 < delta 的分割便有每个 M_k - m_k < epsilon/(b-a),从而 U - L < epsilon。因此每个连续函数都可积。
一致连续加上黎曼判据,是连续函数可积最干净的证明。
又称
另见