函数的极限与连续性
一致连续
普通连续性允许所需的输入接近程度依赖于你所处的位置:在图像陡峭处,你必须放大得更多。一致连续是更强的承诺:存在一个统一的输入容差,处处同时奏效——无论你站在定义域的哪个位置,同一个 δ 都能胜任。
确切地说,f 在集合 D 上一致连续,是指对每个 ε > 0,都存在 δ > 0,使得对 D 中一切点 x、y,只要 |x - y| < δ,就有 |f(x) - f(y)| < ε。它与普通连续性的关键差别在量词次序:这里 δ 是在选定点 x、y 之前、且与之无关地选出的,因此无法迁就某个棘手的位置。
一致连续蕴含连续,反之不然。经典的反例:f(x) = x^2 在整个 R 上连续,却并非一致连续,因为在 x 很大处,哪怕极小的输入间隔也会造成很大的输出间隔。补救性的定理(海涅–康托尔)是:闭有界区间上——更一般地任何紧集上——的连续函数自动一致连续,因此这一区别只在无界或非闭的定义域上才显现。
在 R 上,f(x) = x^2:取 x = n,y = n + 1/n。则 |x - y| = 1/n -> 0,而 |f(x) - f(y)| = 2 + 1/n^2 > 2 恒成立。没有任何单一的 δ 能把输出控制在 ε = 1 之内,故 f 不一致连续。
在无界定义域上连续却不一致连续。
另见