黎曼积分
下达布和
下达布和是一个分割上最吝啬的阶梯:在每条竖条上,你只把矩形造得和函数在那里的最小值一样高,于是阶梯完全藏在图像下方。它有意低估面积,给出一个你可以信赖、绝不会高于真值的地板。
设 f 在 [a, b] 上有界,P = {x_0, ..., x_n} 是一个分割。在第 k 个子区间上令 m_k = inf{ f(x) : x_(k-1) <= x <= x_k }。下达布和为 L(f, P) = sum_{k=1}^{n} m_k (x_k - x_(k-1))。与上和一样,有界性保证每个 m_k 都是有限实数。
对同一分割,m_k <= M_k 迫使 L(f, P) <= U(f, P):地板绝不超过天花板。此外,对任意分割 P 与 Q,每个下和都不超过每个上和,L(f, P) <= U(f, Q),因为过渡到公共加细只会抬高下和、压低上和。所有下和的上确界即下积分,它从下方挤向上积分。
对 [0, 1] 上的 f(x) = x,取分成 n 份的均匀分割,m_k = (k-1)/n(下确界在左端点),故 L(f, P) = sum ((k-1)/n)(1/n) = (n-1)/(2n),它递增到 1/2——与上和到达的极限相同。
随着 n 增大,下和与上和把缝隙从 (n-1)/(2n) 收到 (n+1)/(2n),把积分钉在 1/2。
又称
另见