黎曼积分
黎曼可积
一个有界函数是黎曼可积的,当高估的阶梯与低估的阶梯能被挤到一起、对同一个数达成一致。直观地说,函数足够温顺,使它下方的面积毫不含糊:无论你逼近得多慷慨或多吝啬,充分加细都会把两个估计塌缩到同一个值。
确切地说,[a, b] 上的有界函数 f 是黎曼可积的,如果它的下积分等于上积分。这个共同值便记作 f 从 a 到 b 的积分。等价地,由达布–黎曼等价性,当网格趋于零时带标记的黎曼和收敛到这个数,与标记如何选取无关。
许多熟悉的类都是可积的:[a, b] 上的每个连续函数、每个单调函数,以及任何只有有限个间断点的有界函数。但并非所有有界函数都合格——狄利克雷函数(有理点取 1,无理点取 0)的下积分为 0、上积分为 1,因此不黎曼可积。确切的分界由勒贝格判据给出:可积当且仅当其间断点构成一个零测集。
托梅函数(在最简分数 p/q 处取 1/q,在无理点取 0)在 [0, 1] 上黎曼可积、积分为 0,尽管它在每个有理点都间断——它的间断点集可数,故为零测集。
无穷多个间断点也无妨,只要它们的测度为零。
对有界区间上的有界函数,黎曼可积严格弱于勒贝格可积:每个黎曼可积函数都勒贝格可积且值相同,但反之不成立(狄利克雷函数勒贝格可积,积分为 0)。
又称
另见