黎曼可积的勒贝格判据

一个有界函数究竟何时黎曼可积?黎曼判据给出关于分割的检验,而勒贝格定理给出关于函数自身的、干净的结构性回答:可积性完全由函数失去连续的严重程度所控制。只要那些行为不良的点在尺寸上可忽略,积分就存在。

确切地说,[a, b] 上的有界函数 f 黎曼可积,当且仅当 f 的间断点之集为零测集。一个集合是零测集,如果它能被可数多个区间覆盖,而这些区间的总长度可以任意小;有限集、可数集以及康托集都合格,尽管康托集不可数。

这一笔便解释了先前所有事实:连续函数(无间断点)与单调函数(至多可数个跳跃)可积,托梅函数(在可数的有理点处间断)可积,而狄利克雷函数(处处间断)不可积。这里所需的零测度概念,正是勒贝格测度论的种子,这也是为何此定理是从黎曼积分通往勒贝格积分的自然桥梁。