网格

分割的网格是衡量它有多粗的一个数:它最宽一条竖条的宽度。网格小意味着每块都细,于是近似阶梯在任何地方都不会偏离曲线太远。让网格趋于零,就是经由带标记的和来定义黎曼积分的极限过程。

形式地说,对分割 P = {x_0, ..., x_n},网格(也称分割的模)为 mesh(P) = max{ x_k - x_(k-1) : 1 <= k <= n },即最大子区间的长度。于是黎曼积分是当 mesh(P) -> 0 时黎曼和的极限:对每个 epsilon > 0 存在 delta > 0,使每个网格 < delta 的带标记分割,其和都在积分的 epsilon 范围内。

网格与加细刻画了关于细的不同概念。加细的网格总不大于原来的,但网格小并不蕴含加细:两个分割可以各自有极小的网格,却不共享任何内部点。基于网格的定义(黎曼的)与基于加细的定义(达布的)对有界函数等价,但网格表述才是与数值求积相联系者,在那里网格控制误差界。