黎曼积分
换元积分
换元是链式法则的反向阅读。链式法则告诉你复合函数的导数如何吸收内层的变化率;换元解除这种吸收,让你给积分变量改名,使杂乱的被积函数化为整洁的。你察觉到一个内层函数与它的导数潜伏在一起,再把它们塌缩成一个新变量。
确切地说,若 g 在 [a, b] 上连续可导,且 f 在 g 的值域上连续,则 f(g(x)) g'(x) dx 从 a 到 b 的积分等于 f(u) du 从 g(a) 到 g(b) 的积分。因子 g'(x) dx 恰好变成 du;上下限随变量一起变换,这正是新界限为 g(a) 与 g(b) 而非 a 与 b 的原因。
其依据是令 F 为 f 的原函数,由链式法则得 (F(g(x)))' = f(g(x)) g'(x),再对两边应用基本定理。连续性假设保证原函数存在且积分有意义。对不定积分,最后须把变量代回原来的;对定积分,变换上下限则免去这一步,只要你正确地变换它们。
求 2x cos(x^2) dx 从 0 到 sqrt(pi) 的积分:令 u = x^2,du = 2x dx;上下限变为 0 与 pi,故它等于 cos u du 从 0 到 pi 的积分 = sin(pi) - sin(0) = 0。
察觉到内层函数 x^2 及其导数 2x,正是换元奏效的关键。
在多元情形,换元变为换元公式,其中 g'(x) 被雅可比行列式的绝对值取代。一元版本把符号藏在了上下限的定向之中。
又称
另见