严格的微分理论
导数
想象你开车时瞥一眼速度表。里程表告诉你走了多远（一个关于时间的函数），而速度表告诉你此刻跑得多快。那个瞬时速度就是导数：一个量相对于另一个量在某一瞬间的变化率，而不是在一段区间上取平均。
精确地说，函数 f 在点 a 处的导数是极限 f'(a) = lim_{h -> 0} (f(a + h) - f(a)) / h，前提是这个极限存在且为有限实数。式中的商是差商，导数就是当自变量增量 h 趋于零时它所趋近的值。等价地，令 x = a + h，则 f'(a) = lim_{x -> a} (f(x) - f(a)) / (x - a)。
需要诚实指出的微妙之处在于：这是一个极限，而极限可能不存在。在像 f(x) = |x| 在 0 处这样的尖角处，左、右差商趋于不同的值（-1 与 +1），因此不存在单一的导数。所以导数的存在是一个真正的假设，不能想当然；一个函数可以处处连续却在某一点甚至在每一点都没有导数。
对 f(x) = x^2 与 a = 3，差商为 ((3 + h)^2 - 9) / h = (6h + h^2) / h = 6 + h（h 不为 0），当 h -> 0 时趋于 6。故 f'(3) = 6。
在取极限之前，代数运算约去了分母中的 h——这正是 0/0 形式不构成问题的原因。
记号多种多样：f'(a)、df/dx 在 a 处的值、以及 Df(a) 都表示同一个数。莱布尼茨记号 df/dx 富有启发性，但并非真的是分数；它是表示那个极限的单一符号。
又称
另见