切线

把一把直尺贴在一段弯路上的某一点，使它恰好擦着曲线，并在该处与曲线方向一致。那把直尺就是切线：在接触点处比任何其他直线都更贴合曲线的唯一直线，它与曲线共享该点以及瞬时方向。

严格地说，若 f 在 a 处可微，则图像在 (a, f(a)) 处的切线为直线 y = f(a) + f'(a)(x - a)。其斜率为导数 f'(a)，故导数与切线携带相同的信息。其定义性质是：这条直线是最佳的一阶逼近：f(x) - [f(a) + f'(a)(x - a)] = o(x - a)，即当 x -> a 时误差比距离 x - a 缩小得更快。

切勿把切线理解成「只与曲线相交于一点的直线」——这种直觉会误导人。切线可以穿过曲线，而一条直线也可以只与曲线相交于一点却不是切线（想想竖直线与抛物线相交）。诚实的定义是分析性的，通过导数与误差的阶来刻画，而非通过直线与曲线相交的次数。