差商

在谈论瞬时变化率之前，你只能测量平均变化率。一趟公路旅行中，总路程除以总时间给出平均速度。差商正是如此：在一个有限步长上，输出的变化除以输入的变化。

对函数 f 与两个不同的点 a 和 a + h，差商为 (f(a + h) - f(a)) / h。从几何上看，它是连接图像上两点 (a, f(a)) 与 (a + h, f(a + h)) 的割线的斜率。只要函数值存在，它对每个非零的 h 都有定义；此时尚未涉及任何极限。

让 h 趋于 0，导数便由差商诞生。微分的全部戏剧性都在于这一次取极限：差商是一个诚实可算的比值，而导数是它所趋近的那个值——这个值可能存在，也可能不存在。把这两个概念区分清楚，正是使定义严格而非循环论证的关键。