分部积分

分部积分是乘积法则的倒着运行。乘积法则说一个乘积的导数分摊到两个因子上;对这个恒等式积分,就能把一个你算不出的积分换成一个你能算的,办法是把导数从一个因子转移到另一个因子上。每当被积函数是两类不相干函数的乘积时,它是最后的求助手段。

确切地说,若 u 与 v 在 [a, b] 上连续可导,则 u(x) v'(x) dx 从 a 到 b 的积分等于 [u(x) v(x)] 在端点处的取值之差,再减去 u'(x) v(x) dx 从 a 到 b 的积分。简写为:u dv 的积分 = uv - v du 的积分。在端点处取值的边界项 uv 承载了乘积法则归于整个乘积的那部分贡献。

它的推导是对恒等式 (uv)' = u'v + uv' 积分,并对左边应用基本定理。这些假设保证 u'v 与 uv' 可积,且基本定理适用。反复施用可把多项式对指数函数逐步消去,而一次巧妙的施用则给出递推公式——但选哪个因子去求导是一门艺术,而非一套算法。