阿贝尔求和

分部积分是把一个困难的乘积积分换成较易积分的招法。阿贝尔求和是它的离散孪生:一种重新组合乘积之和 sum a_n b_n 的方法,使你不再处理原始项,而改用部分和与差分。它是许多级数收敛判别法背后的代数引擎。

恒等式(分部求和):令 A_n = a_1 + a_2 + ... + a_n 为 (a_n) 的部分和。则 sum_{n=1}^N a_n b_n = A_N b_N - sum_{n=1}^{N-1} A_n (b_{n+1} - b_n)。乘积 a_n b_n 借助部分和 A_n 与 b_n 的相邻差分被重新表示,恰好对应于 u dv 的积分化为 uv 减去 v du 的积分。

当一个因子的部分和有界、另一个因子单调减到零时,它的威力便显现出来。此时 A_N b_N 保持受控,差分项漂亮地相消,从而迫使收敛——这正是狄利克雷判别法与阿贝尔判别法背后的机制,它们把交错级数判别法推广到像 sum (cos n x)/n 这样的级数。阿贝尔求和纯属代数,因而无需连续性或可微性;它是驯服乘积级数的工具。