条件收敛

条件收敛是一种完全依赖相消而存在的收敛。级数收敛，但仅仅因为正项与负项不断地几乎相互抵消；一旦剥去符号，总面积便是无穷。这种收敛是脆弱的——它依赖于各项到来的次序。

确切地说，若级数 sum a_n 收敛而 sum |a_n| 发散，则称其条件收敛。标准样本是交错调和级数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，它收敛到 ln 2，而其绝对值级数即调和级数发散到无穷。交错级数判别法确证其收敛；通项判别法与积分判别法确证其绝对发散。

其本质的脆弱性由黎曼重排定理刻画：一个条件收敛的实级数，其各项可重新排序使之和为任意指定的实数，或使之发散。在一个条件收敛级数中，仅正项之和为 +无穷，仅负项之和为 -无穷，正是精确的交织产生了那个有限的和。绝对收敛级数则全无此患。