重排定理

对普通的有限加法，加数的次序从不要紧——a + b + c 等于 c + a + b。重排定理揭示：除非收敛是绝对的，否则这条令人安心的法则对无穷级数会失效。重排一个条件收敛级数，你便能把它的和操纵到任何你想要的地方。

黎曼定理把这一点表述得很尖锐：若 sum a_n 是一个条件收敛的实数级数，则对任意目标值 S（包括 +无穷 或 -无穷），都存在一个重排——即指标集到自身的一个双射——使重排后的级数收敛到 S；也存在使之发散或振荡的重排。其机制在于：正部与负部各自之和皆为无穷，故可贪婪地堆叠正项直到越过目标，再堆叠负项直到不及目标，如此永远重复。

与之相伴的正面结果同样重要：若 sum a_n 绝对收敛，则其每一个重排都收敛到同一个和。因此，绝对收敛恰恰是“求和次序无关紧要”所成立的条件。该定理是一记鲜明的警告：有限和的代数不可盲目地搬用到无穷和上。