调和级数

调和级数是本学科中最著名的警世故事：你把 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 加起来，尽管每个新项都比前一项更小、且各项稳步趋向零，总和却仍无界攀升。它是“小项不足以保证级数收敛”的经典证明。

形式上它是 sum_{n=1}^无穷 1/n，即 p = 1 的 p-级数。奥雷姆的经典分组论证给出发散：把各项分组为 1，再是 1/2，再是 (1/3 + 1/4)，再是 (1/5 + ... + 1/8)，依此类推；每一组的和都至少是 1/2，故部分和超过任何界限。等价地可用积分判别法，因为 1/x 从 1 到无穷的积分为无穷。

其发散慢得惊人：前 N 项的部分和约为 ln N + gamma，其中 gamma ≈ 0.5772 是欧拉–马歇罗尼常数。要超过 100，你需要约 e^100 量级的项数。这是说明 n 项判别法是必要而非充分的教科书例子——a_n -> 0 并不保证收敛。