积分判别法

积分判别法利用了一幅简单的图景：一个递减正项级数就像坐落在一条递减函数图像之下（与之上）的矩形阶梯。这些矩形的总面积——也就是级数——被夹在曲线下面积的两个副本之间，因此级数与反常积分同时收敛或同时发散。

确切地说，设 f 是 [1, 无穷) 上的正的、递减的连续函数，且 f(n) = a_n。则 sum_{n=1}^无穷 a_n 收敛当且仅当 f 从 1 到无穷的反常积分有限。矩形估计甚至给出误差界：前 N 项之后的余项介于 f 从 N+1 到无穷的积分与从 N 到无穷的积分之间，这对数值估计很方便。

必须满足两个诚实的条件：各项须最终为正且最终递减——若 f 来回摆动，判别法什么也不说。它是通向 p-级数判据最干净的途径，因为 1/x^p 在 [1, 无穷) 上的积分恰当 p > 1 时有限；它同样能判定诸如 sum 1/(n (ln n)^p) 这类边界级数。