p-级数

p-级数考察各项收缩的快慢如何决定其和是否有限。你把幂的倒数加起来：指数 p 越大，各项下降越快，而在某个尖锐的临界点上，和会从无限翻转为有限。

p-级数即 sum_{n=1}^无穷 1/n^p，其中 p 是固定实数。干净的判据是：它收敛当且仅当 p > 1，而当 p <= 1 时发散。边界情形 p = 1 即调和级数，它发散；p = 2 给出收敛的和 1 + 1/4 + 1/9 + ... = pi^2/6。临界值 p = 1 确实是一道刀刃——p = 1 时收敛失败，但对每个 p > 1，无论多么接近 1，收敛都成立。

最干净的证明是积分判别法：1/x^p 在 x >= 1 上为正且递减，而 1/x^p 从 1 到无穷的反常积分恰当 p > 1 时收敛。由于 p-级数遍历了全部衰减速率，它是比较判别法与极限比较判别法用来分类许多其他级数的基准族。