无穷级数与收敛
极限比较判别法
极限比较判别法对比较判别法作了精炼：它不再追问一个级数是否逐项更小，而是追问两个级数在长程中是否本质上以相同的速率增长。若它们的各项最终成比例，那么两个级数共存亡——你不再需要一个干净的不等式，只需相匹配的渐近行为。
确切地说，设 a_n > 0 且 b_n > 0，并设极限 L = lim (a_n / b_n) 存在。若 0 < L < 无穷，则 sum a_n 与 sum b_n 要么同时收敛，要么同时发散。还有单侧变体：若 L = 0 且 sum b_n 收敛，则 sum a_n 收敛；若 L = 无穷 且 sum b_n 发散，则 sum a_n 发散。有限非零的情形是迄今最常用的。
它在实践中为何有用：它使你免于构造精确的不等式，那有时颇为繁琐。你只需读出 a_n 在大 n 时的主导行为，选一个具有相同主导行为的 b_n（通常是 p-级数），再计算比值的极限。诚实的限制是：各项必须（最终）为正，且比值必须存在一个真正的极限。
取 a_n = (2n + 1)/(n^3 + 5)，令 b_n = 1/n^2；则 a_n / b_n -> 2，是有限非零极限。由于 sum 1/n^2 收敛，故 sum (2n + 1)/(n^3 + 5) 也收敛。
把渐近行为匹配到 p-级数，无需不等式即可判定收敛。
另见