比值判别法

比值判别法追问每一项与前一项相比大小如何。若长程来看每一项都比其前驱小一个固定的比例，则该级数表现得像一个收缩的几何级数而收敛；若每一项倾向于更大，则它爆涨。当各项含有阶乘或指数时，这是首选的判别法。

形式上，考虑 L = lim |a_{n+1} / a_n|（若普通极限不存在，则取上极限）。则：若 L < 1，级数 sum a_n 绝对收敛；若 L > 1（或比值趋于无穷），级数发散；若 L = 1，判别法无效，不提供任何信息。证明的思路正是几何比较：当 L < 1 时，尾段被一个公比略大于 L 的收敛几何级数所控制。

对 L = 1 这一盲点要坦白：每个 p-级数的比值极限都是 1，然而有些收敛（p > 1）有些发散（p <= 1），故比值判别法无法区分它们。当 L = 1 时，改用根值判别法（它至少同样有力）、积分判别法或比较判别法。比值判别法恰恰在比值有一个远离 1 的干净极限时大放异彩。