根值判别法

根值判别法追问：通过对每项大小取 n 次方根所提取出的、每项典型的缩放因子是多少？若该缩放因子最终低于一，则各项以几何方式衰减，级数收敛；若它超过一，则各项甚至不趋于零，级数发散。当一项本身是 n 次幂时，这是天然的判别法。

形式上，令 L = limsup |a_n|^{1/n}（上极限，它在广义实数中总是存在）。则：若 L < 1，级数绝对收敛；若 L > 1，级数发散；若 L = 1，判别法无效。使用上极限而非普通极限，使得即便 |a_n|^{1/n} 振荡，根值判别法依然适用，这也是它在初等的比值型判别法中理论上最为锐利的原因之一。

与比值判别法的精确比较：凡比值判别法能下结论之处，根值判别法都给出相同结论，但存在根值判别法能判定而比值判别法不能的级数。代价是 n 次方根有时比比值更难计算。与比值判别法一样，它恰在 L = 1 处无能为力，那里 p-级数再次构成边界例子。